Dialéctica de las Matemáticas

Compartimos en dos partes este artículo originalmente publicado en la Revista PL, suplemento de Desafío, el 21 de septiembre de 1988, como aporte al conocimiento científico del pueblo. Los destacados en negritas son nuestros.

Las matemáticas son parte de tu vida. Ya sea que estés contando el vuelto, leyendo un mapa rutero, construyendo un estante para los libros o planificando una exposición, estás usando ideas matemáticas.

Este artículo desarrollará dos puntos principales. Primero, las matemáticas son muy dialécticas. Las leyes y categorías del materialismo dialéctico operan a través del mundo de los números, formas y fórmulas. Entender las matemáticas depende de nuestra comprensión de la dialéctica.

El segundo punto a tratar en este artículo es que las ideas matemáticas reflejan el mundo real. Los principios matemáticos no han caído del cielo. Ellos no se levantaron mágicamente de los cerebros de unos pocos genios. Las ideas matemáticas han nacido de las necesidades humanas prácticas y los problemas de la vida real.

I.                   Dialéctica de la aritmética

¿Cuántos niños quieren completos?

Estás en un asado y necesitas saber cuántos completos cocinar para los niños. Entonces preguntas: “¿cuántos quieren un completo?” y se levantan las manos. Uno de los chicos que quiere un completo tiene el pelo rubio y viste una polera de Spider Man. Otro tiene el cabello oscuro y lleva un jockey azul de su equipo de fútbol. El último niño con la mano levantada es de pelo castaño y tiene puesto un traje de baño rojo. Listo, haces una nota mental: “3 niños, 3 completos”.

Acabas de hacer uso del materialismo dialéctico. Has aplicado la idea de semejanza y diferencia. Recuerda, aquellos niños son diferentes. Uno tiene pelo negro, otro castaño y otro rubio. Uno viste camiseta, otro jockey y el otro short. Tú ignoraste esas diferencias. Te has enfocado en el aspecto en que los niños son similares. Esto es, ellos tienen hambre y quieren comer completos. Contando “uno, dos, tres” niños significa que ignoraste el color de pelo y la vestimenta. Te preocupaste de lo que quieren para comer, en su apetito.

Una categoría clave: concreto y abstracto

Has aplicado un concepto que yace en el corazón de todas las matemáticas: concreto y abstracto. “Concreto” y “abstracto” son ideas filosóficas que constituyen una de las categorías del materialismo dialéctico.

“Concreto” viene de la raíz latina concretus, lo que significa con y cresco: coagulado, condensado, endurecido, solidificado, etc. Si hablas acerca de la naturaleza concreta de algo, estás refiriéndote a todos los aspectos particulares de esa cosa tomados en conjunto. (Piensa en el concreto, el material de construcción. El hormigón se forma cuando todas las partículas minerales se unen y endurecen, transformándose en una sustancia que puedes usar de base para un muro). Cuando dijiste que el primer niño tiene pelo rubio y viste una polera de Spider Man, aquellas son algunas de sus características concretas.

Todos usan la abstracción

A muchas personas se les ha enseñado a pensar que la abstracción es súper complicado. O, tal vez, tú crees que el pensamiento abstracto es algo que sólo un reducido número de “grandes cerebros” puede hacer. Nada puede estar más lejos de la realidad. Todo el mundo se refiere a ideas abstractas en un grado u otro. “Abstracto” proviene de la raíz latina abstractus, que significa “alejarse” y se utiliza para referirse a cualidades o elementos no específicos. Cuando trabajas con algo en abstracto, en tu mente te alejas (es decir, ignoras) de algunos de los aspectos concretos de aquella cosa.

“Abstracto” no significa “irreal”. La naturaleza abstracta de una cosa o proceso es tan real como su naturaleza concreta. La abstracción “niños queriendo completos” es así de cierta como lo es la vestimenta concreta y el color de pelo de cada muchacho. Además, hay muchos aspectos abstractos de cualquier cosa, al igual que aspectos concretos. Por ejemplo, si miras alrededor del patio en un asado, es posible que veas gente, un par de gatos y varios árboles. Si olvidas las muchas diferencias que hay entre la gente, gatos y árboles, podrías acercarte a la característica común de que todos estos son seres vivos. Así, otro aspecto abstracto de los niños hambrientos es que todos son seres vivientes. Incluso otra característica abstracta de los niños es que ellos caminan en posición vertical, en lugar de caminar en cuatro patas (como los gatos), etc.

Abstracto y concreto: contando los niños hambrientos

Cuando cuentas los tres niños con hambre, ignoras (es decir, te abstraes de) sus características concretas, su color de pelo y vestimenta. En tú mente has creado una cosa abstracta –“niños que quieren completos”-. Dado que un “niño queriendo completo” es como cualquier otro “niño queriendo completo”, simplemente puedes contarlos. No te preocupas por el hecho de que la ropa y el color de pelo de los niños son diferentes. Por lo tanto, contar implica la capacidad de abstraer.

Más niños hambrientos, mayor nivel de abstracción

Entonces, el asado se pone más complicado. Vienen más niños corriendo y pasas por la misma rutina, pues ignoras los colores de las poleras y los peinados, contando a los “niños queriendo completos”. Usted cuenta dos. Los niños que quieren completos son los tres niños anteriores y los dos nuevos. Por ende, piensas 3 + 2 = 5. Cinco completos en total.

Acabas de pasar a un nivel superior de abstracción. Ya no son los números 3 y 2 vinculados a “niños que quieren completos”. Has separado 3 y 2 completamente. Hiciste un trabajo mental en un par de números completamente abstractos, concretamente los números 3 y 2. Hiciste aritmética. Ahora puedes continuar el asado con la confianza de saber cuántos completos poner en la parrilla (al menos hasta que alguien aparezca queriendo repetición).

La humanidad lucha desde temprano con los números

Dejemos la parrilla y retrocedamos el tiempo unos miles de años. Si miramos la historia temprana de la humanidad, podemos ver el desarrollo en el tiempo del mismo tipo de pensamiento que acabamos de utilizar en el asado.

A la humanidad le tomó mucho tiempo aprender a contar. Tomó aún más tiempo resolver el concepto de número. Los primeros pueblos no tenían idea de lo que es un número. Sin embargo, podían hacer juicios sobre el tamaño de varias colecciones de objetos que encontraron en la vida cotidiana. Por ejemplo, un hombre o una mujer primitiva podían decir que había más leña en un montón de 20 troncos que en uno de 5 troncos. La cantidad de troncos se veía vagamente como una propiedad inseparable de la leña. Sin embargo, esa propiedad no se entendía claramente en términos de números definidos (como 20 o 5).

ENGELS SOBRE LAS MATEMÁTICAS Y EL MUNDO REAL:

“(…) Pero lo que no es verdad es que en la matemática pura el entendimiento se ocupe exclusivamente de sus propias creaciones e imaginaciones. Los conceptos de número y figura no han sido tomados sino del mundo real. Los diez dedos con los cuales los hombres han aprendido a contar, a realizar la primera operación aritmética, no son ni mucho menos una libre creación del entendimiento. Para contar hacen falta no sólo objetos contables, numerables, sino también la capacidad de prescindir, al considerar esos objetos, de todas sus demás cualidades que no sean el número, y esta capacidad es resultado de una larga evolución histórica y de experiencia.

También el concepto de figura, igual que el de número, está tomado exclusivamente del mundo externo, y no ha nacido en la cabeza, del pensamiento puro. Tenía que haber cosas que tuvieran figura y cuyas figuras fueran comparadas, antes de que se pudiera llegar al concepto de figura.

La matemática pura tiene como objeto las formas especiales y las relaciones cuantitativas del mundo real, es decir, una materia muy real. El hecho de que esa materia aparece en la matemática de un modo sumamente abstracto no puede ocultar sino superficialmente su origen en el mundo externo. Para poder estudiar esas formas y relaciones en toda su pureza hay, empero, que separarlas totalmente de su contenido, poner éste aparte como indiferente; así se consiguen los puntos sin dimensiones, las líneas sin grosor ni anchura, las a y b y las x e y, las constantes y las variables, y se llega al final, efectivamente, a las propias y libres creaciones e imaginaciones del entendimiento, a saber, a las magnitudes imaginarias.

Tampoco la aparente derivación de las magnitudes matemáticas unas de otras prueba su origen apriorístico, sino sólo su conexión racional. Antes de que se llegara a la idea de derivar la forma de un cilindro del giro de un rectángulo alrededor de uno de sus lados ha habido que estudiar gran número de rectángulos y cilindros reales, aunque de forma muy imperfecta. Como todas las demás ciencias, la matemática ha nacido de las necesidades de los hombres: de la medición de tierras y capacidades de los recipientes, de la medición del tiempo y de la mecánica.

Pero, como en todos los ámbitos del pensamiento, al llegar a cierto nivel de evolución se separan del mundo real las leyes abstraídas del mismo, se le contraponen como algo independiente, como leyes que le llegaran de afuera y según las cuales tiene que disponerse el mundo. Así ha ocurrido en la sociedad y en el Estado, y así precisamente se aplica luego al mundo la matemática pura, aunque ha sido tomada sencillamente de ese mundo y no representa más que una parte de las formas de conexión del mismo, única razón por la cual es aplicable.”

Anti-Duhring, sección III, parte I

Dedos, dedos de los pies y números

En la siguiente etapa del desarrollo de la humanidad, un número aparece como una propiedad inseparable de una acumulación de objetos. Sin embargo, el número aún no se distingue del montón de objetos. Por ende, el número aún no se distingue de la suma de objetos como un número en sí mismo. Por ejemplo, algunos de los primeros pueblos usaron palabras como “mano” para cinco u “hombre completo” para veinte. Cinco significaba “tantos como los dedos en una mano”. “Veinte” significa “tantos como dedos de manos y pies en un hombre”. Cinco y veinte no se entendieron como números abstractos separados de los dedos de las manos y los pies.

Un gigante paso adelante: números abstractos

Los primeros pueblos consideraron necesario comparar grupos de objetos. Incluso, sin ningún uso de números, las personas podían emparejar los objetos de dos conjuntos para descubrir qué colección era más grande. Los montones de leña o las manadas de ganado se pueden contrastar de esta manera. Estas comparaciones se llevaron a cabo como parte de las actividades diarias de suministro de alimentos y refugio. Durante innumerables generaciones, la gente repitió la misma operación millones de veces. Eventualmente, en el curso de estas muchas comparaciones, surgió la noción de un “número abstracto”. Este número abstracto era una propiedad abstraída de la colección concreta de troncos o ganado y considerada simplemente en sí misma. Ya no eran 5 registros o 20 registros, sino solo “5” y “20”.

El número abstracto surgió así del trabajo físico (trabajando con troncos, rocas, animales, etc.) y el trabajo mental (haciendo comparaciones entre conjuntos de objetos) llevado a cabo por personas reales durante muchos siglos. El número abstracto no fue simplemente algo inventado por algún mago en el antiguo Egipto o Grecia.

Definición de número

La siguiente es una definición “rigurosa” de número, una que podría leerse en un manual de matemáticas. Ahora podemos ver cómo esta definición refleja la larga lucha física y mental de la temprana humanidad con los objetos de la vida cotidiana:

“Un número es aquella propiedad de un montón de objetos que es común a todo el conjunto de esos objetos, correspondiéndose entre sí uno a uno. Esa propiedad es diferente para aquellos conjuntos donde tal correspondencia es imposible.”.

Poniendo los montones juntos: los orígenes de las operaciones aritméticas

El número abstracto surgió cuando las primeras personas comparaban colecciones de objetos, día tras día, año tras año. Los primeros pueblos no solo compararon sumas de objetos, sino que también relacionaron esos conjuntos de varias maneras. Supongamos que un montón de madera tenía 5 troncos y otra tenía 7. Si las dos rumas se combinaban, habría 12 troncos. Como resultado de operaciones repetidas con colecciones de objetos (como ese grupo de troncos), los primeros pueblos descubrieron operaciones con números. La suma de números corresponde a juntar o unir dos o más conjuntos. La multiplicación probablemente surgió del hábito de contar colecciones iguales, de dos en dos, tres en tres, y así sucesivamente. La sustracción y la división surgieron de manera similar, es decir, de las manipulaciones de la vida real de grupos de cosas.

Leyes de los números

En el proceso de contar, los primeros hombres y mujeres no solo captaron las relaciones entre números separados (por ejemplo, 5 y 7 son 12), sino que también establecieron ciertas leyes generales. Por ejemplo, en el transcurso de la experiencia cotidiana, los primeros pueblos aprendieron que los resultados de la adición no dependen del orden de identificación que se agregue. Ya sea que cuentes primero el montón de 5 o de 7 troncos, terminas con 12 registros en total. 5 y 7 son 12. 7 y 5 también son 12. (Más adelante, los matemáticos descubrirían muchas de esas leyes generales sobre los números. Estos son los principios subyacentes de la teoría de números).

Por lo tanto, el sujeto de la aritmética es las relaciones entre los números. Pero estas relaciones son imágenes abstractas de las relaciones entre colecciones de objetos. La aritmética no surgió del pensamiento puro (como muchos de los “eruditos” de los patrones nos querían hacer creer). En cambio, la aritmética es el reflejo de las propiedades definidas de las cosas reales. Surgió de la larga experiencia práctica de muchas generaciones.

Un símbolo vale más que mil objetos

Los primeros pueblos consideraron necesario comunicar a otros el número de objetos en un conjunto. Esto condujo, como hemos visto, al concepto de número y a los nombres para los números. A medida que la vida social se hizo más complicada, se hizo esencial aprender a contar colecciones cada vez más grandes, de animales en una manada o bienes para intercambiar y comunicar los resultados de la cuenta a otros. Esta situación exigió una mejora en los nombres y también en los símbolos para los números.

La introducción de símbolos para los números aparentemente ocurrió tan pronto como comenzó la escritura. Más tarde se desarrollaron símbolos para operaciones en números, como “+” para sumar. Estos símbolos para números y operaciones matemáticas desempeñaron un gran papel en el desarrollo de la aritmética. Por ejemplo, la mayoría de las personas sienten que es más fácil “calcular en papel” que “en la cabeza”. Los símbolos matemáticos nos permiten reemplazar las operaciones mentales con cálculos. Estos cálculos se pueden anotar donde todo es visible y todo se puede verificar. Los cálculos pueden ser gobernados por reglas exactas. Por lo tanto, si agrega una columna de números, “primero sume la columna de unidades y luego vaya a la columna de decenas y sume la columna de decenas, así sucesivamente”.

LENIN SOBRE LA IMPORTANCIA DE LA ABSTRACCIÓN EN LA COMPRENSIÓN DEL MUNDO:

“El pensamiento que avanza de lo concreto a lo abstracto —siempre que sea correcto… no se aleja de la verdad, sino que se acerca a ella. La abstracción de la materia, de una ley de la naturaleza, la abstracción del valor, etc.; en una palabra, todas las abstracciones científicas (correctas, serias, no absurdas) reflejan la naturaleza en forma más profunda, veraz y completa. De la percepción viva al pensamiento abstracto, y de este a la práctica: tal es el camino dialectico del conocimiento de la verdad, del conocimiento de la realidad objetiva.”.

[Énfasis en cursivas son originales]

Cuadernos filosóficos escritos por Lenin.

El desarrollo de símbolos también hizo posible manejar números muy grandes. Si un amigo debe decirle “siete”, probablemente no piense en una colección de siete objetos. En cambio, piensa en el símbolo “7”. Este “7” forma un marco tangible para el número abstracto “siete”. Cuando se trata de un gran número, como 18.759, ni siquiera puedes comenzar a imaginarlo en tu mente como una colección de objetos. Para entender un número tan grande, necesitas el símbolo escrito “18.759”. Por lo tanto, la invención de los símbolos aplanó el camino para el descubrimiento de los números. Este descubrimiento nunca pudo haber tenido lugar por observación directa o por conteo. Además, se requerían operaciones con grandes cantidades en las sociedades antiguas para recaudar impuestos o para construir y equipar ejércitos.

¿Por qué la aritmética es tan útil en la vida cotidiana?

¿Por qué es tan útil la aritmética en el supermercado, en tu sótano, en el campo de atletismo, etc.? La historia que hemos estado revisando hasta ahora nos da la respuesta. Los conceptos y conclusiones de la aritmética provienen de miles de años de experiencia. Estas ideas reflejan en forma abstracta aquellas relaciones en el mundo real que la gente encuentra en todas partes, todo el tiempo. Un niño puede contar juguetes, personas en una habitación o estrellas en el cielo. La aritmética considera algunas de las propiedades generales de estas cosas, abstrayéndose de todo lo particular y concreto. Es precisamente porque la aritmética solo considera esas propiedades generales que sus conclusiones son aplicables a tantas situaciones en la vida.

La misma abstracción de la aritmética garantiza que se pueda aplicar de manera tan amplia. Pero recuerda: esta abstracción no es vacía. No es algo místico. La abstracción se deriva de la larga experiencia práctica de los antepasados, personas no tan diferentes de ti mismo.

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