Compartimos la segunda parte y final de este artículo, originalmente publicado en la Revista PL, suplemento de Desafío, el 21 de septiembre de 1988, como aporte al conocimiento científico del pueblo. Los destacados en negritas son nuestros.

Aquí se aborda la dialéctica de la geometría, la interrelación entre la aritmética y la geometría, junto a unas sintéticas conclusiones. La primera parte de este artículo la puedes encontrar haciendo click aquí.

II.                   Dialéctica de la geometría

La forma de la naturaleza

La geometría (las matemáticas de las figuras, de las formas) también surgió de las necesidades prácticas y la larga experiencia de la humanidad.

Los primeros pueblos tomaron formas geométricas de la naturaleza. Estaban muy familiarizados con el círculo y la media luna, la superficie lisa de un lago, la rectitud de un rayo de luz o un árbol. Pero la naturaleza rara vez presentaba a los primeros humanos líneas realmente rectas o triángulos y cuadrados precisos. La razón principal por la que los primeros pueblos elaboraron gradualmente una noción de estas figuras es que para satisfacer sus necesidades cotidianas fabricaban objetos cada vez más regulares en forma. Construyeron casas, piedras cortadas, parcelas de tierra cercadas, cuerdas de arco estiradas, cerámica de barro modelada. Trabajaron y refinaron estos objetos día tras día. Eventualmente, desarrollaron la idea de que una olla es curva, mientras que una cuerda de arco es recta.

Las formas abstractas provienen de las formas de la naturaleza

En otras palabras, los pueblos primitivos dieron forma a sus objetos materiales. Luego percibieron la forma como algo que podía imprimirse en el material (madera, arcilla, piedra y similares). Se dieron cuenta de que la forma podía considerarse en sí misma, como una abstracción del material. Los primeros pueblos tuvieron que hacer miles de objetos con bordes rectos, estirar miles de hilos, dibujar en el suelo un gran número de líneas rectas, antes de que pudieran formarse una idea clara de la línea recta en general. La línea recta era la cualidad común a todas estas experiencias particulares. Por lo tanto, la actividad práctica fue la base de los conceptos abstractos de la geometría, tal como la línea recta.

(Hoy en día, por supuesto, su hijo aprende temprano en la vida a dibujar una línea recta. Esto se debe a que está rodeado de todo tipo de objetos fabricados con bordes rectos y comprados en tiendas).

FINITO E INFINITO: O, ¿POR QUÉ EL POLLO NO PUEDE CRUZAR EL CAMINO?

Ahí está ese pollo, mira. Él comienza a cruzar la calle. (No nos preguntes “¿´por qué?”. Ese es problema del pollo.) Antes de cruzar la carretera tiene que cruzar la mitad de la carretera. Ahora le queda medio camino por recorrer. Pero antes de que pueda cruzar esa mitad, tiene que cruzar la mitad de la mitad, o un cuarto. Y antes de que pueda cruzar el cuarto restante de la carretera, tiene que cruzar la mitad de ese cuarto, o un octavo de la carretera. Esto sigue y sigue (infinitamente). Parece que nuestro pobre pollo nunca llegará al otro lado de la carretera.

Entonces, ¿qué está mal en esta historia? Sabemos, por el mundo real, que los pollos cruzan la carretera todos los días. Lo que tenemos aquí es una falla en ver la contradicción entre finito e infinito.

Sigue ese pollo

Veamos matemáticamente el viaje de nuestro pollo. Primero, la mitad del camino, luego un cuarto, luego un octavo, y así sucesivamente. Puedes representar esto como una serie de fracciones: ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + … (Los puntos suspensivos significan que la serie sigue y sigue de esta manera.) Este es un ejemplo de lo que se llama una serie infinita. El error radica en pensar (sin dialéctica) que una serie infinita puede sumar solo una cantidad infinita. Es decir, si sumas ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + … obtienes un número infinitamente grande. Eso significaría que nuestro pollo nunca alcanzaría el otro lado, seguiría caminando por siempre (hasta que el sol lo horneara y se convirtiera en pollo frito o un automóvil lo golpeara y se convirtiera en nuggets de pollo).

Sin embargo, el hecho es que los matemáticos han demostrado que las series infinitas ½ + ¼ + 1/8 + 1/16 + … suman 1, no infinito. Por lo tanto, la suma de esta serie infinita es una cantidad finita, 1.

Nuestro pollo, por lo tanto, no tiene que cruzar una infinidad de caminos. Tiene que cruzar un solo camino y así llegar al otro lado.

Lo finito y lo infinito están interconectados, son inseparables en las matemáticas y en toda la realidad material. Por ejemplo, los seres vivos son finitos. Nacen, crecen, envejecen, mueren. Después de la muerte, se descomponen, y al hacerlo se convierten en parte de las bacterias, y eventualmente de otras plantas y animales. Así, lo finito, en perecer, no ha perecido. Se ha convertido en otro finito. Y esto sigue y sigue hasta el infinito. Así tenemos el infinito de lo finito.

Nuestra historia del pollo y su representación matemática es solo un ejemplo de esta contradicción fundamental entre lo finito y lo infinito.

Leyes de la geometría

De la misma manera, las ideas acerca de las cantidades geométricas (longitud, área, volumen) surgieron de la actividad práctica. Las personas midieron longitudes, determinadas distancias y áreas estimadas al ojo. Estas actividades fueron parte importante de la agricultura y la construcción. En el curso de estas actividades se descubrieron las leyes generales más simples. Por ejemplo, el área de un rectángulo es igual al producto de la multiplicación de las longitudes de sus lados. Puedes ver por qué es útil para un agricultor conocer esta relación, de modo que él pueda descubrir el área que ha plantado y, por lo tanto, la cosecha que podría esperar.

Geometría: “Midiendo la tierra”

Así, la geometría surgió de las necesidades prácticas de la humanidad. Los antiguos egipcios, por ejemplo, descubrieron la geometría como resultado de su medición de la tierra. Esta medida fue necesaria para ellos porque la inundación periódica del río Nilo arrasó sus límites. (De hecho, la palabra “geometría” viene de las palabras griegas “medir tierra”). Un texto egipcio del 1.700 a. C. contiene una colección de problemas en el cálculo de la capacidad de los contenedores y almacenes, el área de partes de la tierra, las dimensiones de movimientos de tierras, etc. Los egipcios y los babilonios pudieron determinar las áreas y volúmenes más simples y sabían con bastante exactitud la relación de la circunferencia al diámetro de un círculo.

Al principio, al igual que la aritmética primitiva, la geometría era básicamente una colección de reglas deducidas de la experiencia. A medida que la geometría pasaba de Egipto a Grecia, se acumulaban nuevos hechos. Posteriormente se aclararon las relaciones de estos hechos entre sí. Estas relaciones se transformaron gradualmente en ciertas proposiciones de la geometría que podían deducirse lógicamente de otras proposiciones. Así surgió la idea de un teorema geométrico y su demostración. Además, surgieron los axiomas, proposiciones más fundamentales de las que se pueden deducir las otras. De esta manera, la geometría se desarrolló gradualmente en una teoría matemática.

Definición de cuerpo geométrico

Al igual como hemos discutido antes qué es un “número”, también podemos definir un “cuerpo geométrico”.

Un cuerpo geométrico no es otra cosa que un cuerpo real considerado únicamente desde el punto de vista de su forma espacial, en abstracción de todas sus otras propiedades concretas, tales como la densidad, el color o el peso.

¿Por qué la Geometría es tan útil en la vida cotidiana?

La aplicación generalizada de la geometría tiene la misma fuente que la aritmética: los conceptos geométricos se han abstraído del mundo que nos rodea. Las personas tenían que dibujar muchas líneas rectas antes de poder tomarlo como el axioma que a través de dos puntos es posible dibujar una línea recta. Este principio es muy general. Se mantiene por dos puntos, en un pedazo de papel, dos estacas introducidas en un campo, dos postes de teléfono en el costado de la carretera, y así sucesivamente. De manera similar, la gente tuvo que trabajar con muchos tipos de objetos esféricos antes de descubrir que el volumen de una esfera es igual a 4/3p r³ (p, la letra griega pi, es el símbolo de la relación de la circunferencia de una esfera a su diámetro; r es el radio, la distancia desde el centro a la superficie de la esfera.) Esta fórmula se sostiene tanto si estamos hablando de una pelota de béisbol, un rodamiento de bolas, una estrella o una gota de agua.

En resumen, la geometría, al igual que la aritmética, ha evolucionado a través de la interacción continua de la experiencia práctica y el pensamiento abstracto. La aritmética y la geometría son las dos raíces históricas y conceptuales de todas las matemáticas.

III.                INTERRELACIÓN ENTRE ARITMÉTICA Y GEOMETRÍA: FRACCIONES Y MATEMÁTICAS AVANZADAS

Fracciones y la medición del piso de la cocina

Si desea medir su cocina antes de poner cerámica, puedes contar tus pasos mientras caminas a lo largo de la habitación. Acabas de unir la aritmética y la geometría. Para medir la longitud de un objeto, le aplicamos una cierta unidad de longitud y calculamos cuántas veces es posible hacer esto. La primera operación (aplicación) es geométrica. La segunda operación (cálculo) es aritmética. Aplicó el largo de su zapato a la longitud de su cocina y calculó (contando) cuántos pasos tomó para ir de un extremo de la habitación al otro.

Sin embargo, ¿qué sucede cuando llegas a la pared opuesta y no puedes colocar tu zapato en la última distancia restante? ¿Qué haces? Divides tu paso. Ahora puedes expresar con mayor precisión cuál es la longitud de la cocina. Usas partes de un paso, así que podríamos decir que la cocina tiene 12 pasos y medio. Ahora estás usando fracciones, como también números enteros.

Las fracciones surgieron en la historia de la medición. Las personas calcularon longitudes (de tela, por ejemplo), áreas (de campos) y volúmenes (de líquidos). Los pueblos primitivos descubrieron las fracciones, a través de innumerables mediciones que involucran la aplicación geométrica y el cálculo aritmético -como la que acabas de hacer cuando saliste de tu cocina-. Las actividades prácticas, vinculadas a desarrollos previos en aritmética y geometría, llevaron a una nueva idea, las fracciones.

La filosofía de los huevos revueltos: Lo discreto y lo continuo

Otra categoría dialéctica es importante en matemáticas. Arroja más luz sobre la interconexión de la aritmética y la geometría. Esa categoría es discreto y continuo.

La siguiente broma ilustra esta categoría: ¿Cómo se dividen tres huevos en partes iguales entre dos niños? Sencillo. Haces huevos revueltos.

Los objetos discretos (o separados) son indivisibles en el sentido de que una vez divididos dejan de ser lo que eran antes. No tiene sentido, por ejemplo, hablar de un tercio de muchos o la mitad de un huevo. (Si corta a un ser humano vivo, él o ella ya no es una persona viva.) Por otro lado, los objetos continuos se pueden dividir fácilmente y volver a armarse sin perder su carácter esencial. Por lo tanto, no puedes dividir el huevo discreto, pero puedes dividir fácilmente los huevos revueltos en partes pequeñas.

La unidad (y lucha) de lo discreto y lo continuo

Lo discreto y lo continuo están siempre unidos. Esto se puede entender de dos maneras:

  1. No hay objetos absolutamente indivisibles. Los físicos solían pensar que el electrón (una de las partículas que forman un átomo) era una partícula fundamental, un objeto absolutamente discreto que no podía dividirse en partes más pequeñas. Ahora los físicos han encontrado partículas aún más pequeñas que forman el electrón.
  2. No hay objetos completamente continuos. Apóyate, toma una cucharada de huevos revueltos y córtalo en trozos cada vez más pequeños. Finalmente, llega a un punto en el que solo tiene ciertas partículas muy pequeñas de material (moléculas, por ejemplo) que ya no tienen las propiedades de los huevos revueltos.

En otras palabras, toda realidad material tiene aspectos tanto discretos como continuos.

En matemáticas, el reflejo abstracto de la discreción es el número entero. De manera similar, la manifestación abstracta de continuidad es la figura geométrica (por ejemplo, la línea recta). La medida del piso de la cocina implica la unidad de lo discreto y continuo en las matemáticas. Una longitud (continua) se mide por unidades (discretas), tales como los pasos. Sin embargo, como vimos anteriormente, las unidades discretas deben dividirse en fracciones (lo cual solo puede hacerse si la unidad discreta también tiene una naturaleza continua).

Abstracción de alto nivel y las matemáticas “lejanas”

Hasta ahora, este artículo ha mostrado cómo la humanidad ha generalizado y abstraído de los objetos de la experiencia diaria para llegar a conceptos básicos de aritmética y geometría. Los matemáticos han llevado este proceso de abstracción aún más lejos al “abstraer de la abstracción”. Es decir, han descubierto nuevos conceptos matemáticos, no de la experiencia directa, sino a partir de otros conceptos matemáticos.

Probablemente estás familiarizado con los números negativos. Por ejemplo, -20 grados (Celsius) es una temperatura “por debajo de 0” (lo que significa que es muy frío). Aquí puedes ver una conexión con la medida de la realidad física. Sin embargo, ¿cuál es la raíz cuadrada de un número negativo? Recuerda, la raíz cuadrada de un número es otro número que, cuando se multiplica por sí mismo, da el número original. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 es 3, ya que 3 por 3 es 9. Entonces, ¿cuál es la raíz cuadrada de, digamos, -1? Tiene que ser algo que, cuando se multiplica por sí mismo, da -1.

Los números “imaginarios” revelan nuevos aspectos de la realidad

Si te estás rascando la cabeza en este momento, estás en buena compañía. Los matemáticos tenían que, en cierto sentido, “inventar” la respuesta a este problema. La raíz cuadrada de –1 estaba “imaginada” para existir y los matemáticos la llamaban “i”. i veces i es igual a –1. Números basados en i componen el conjunto de números “imaginarios”. Esto se ha convertido en un área importante de las matemáticas modernas.

Pero, podrías decir, esto no se corresponde con nada “real”. En cierto modo, tendrías razón. Estos números imaginarios ciertamente no reflejan la realidad de la manera en que lo hacen los números enteros. Los números imaginarios se derivaron por completo de otros conceptos matemáticos, a través del razonamiento, no del trabajo directo con objetos materiales.

Sin embargo, después del desarrollo puramente mental de los números imaginarios, los investigadores encontraron que estos números imaginarios eran importantes para explicar la corriente alterna en la electricidad y el movimiento de los fluidos, por ejemplo. Es decir, los números imaginarios correspondían a la realidad, aunque no en el sentido simple e intuitivo que los números enteros lo hacían. No es que los números imaginarios no sean reales, sino que revelan nuevos aspectos de la realidad que no fueron claros de inmediato a través de nuestros ojos, oídos y manos. El trabajo mental de la abstracción nos da una mayor perspectiva de la naturaleza del mundo en que vivimos.

Geometría “imaginaria”

El mismo tipo de proceso ha ocurrido en la geometría. El antiguo matemático griego Euclides estableció muchos de los principios de la geometría con los que todos estamos familiarizados. Uno de sus postulados es que, para cualquier punto que no esté reposado en una línea, solo se puede dibujar una línea a través de ese punto que sea paralelo a la línea. A lo largo de la historia, sin embargo, los matemáticos tuvieron dificultades para “probar” que este postulado era cierto. (Es bastante fácil probar que se puede dibujar una línea de esta manera, pero no que solo se puede dibujar una línea).

Un matemático del siglo 19 llamado Lobachevsky “imaginó” una geometría en la que al menos dos líneas se pueden extraer a través del punto que sería paralelo a la línea original. Esto va en contra de nuestro “sentido común”, que nos dice que sólo una de estas líneas se puede extraer. Por lo tanto, Lobachewsky llamó a su geometría una “imaginaria”. Otro matemático del siglo 19, llamado Reimann, desarrolló el concepto de espacio de muchas dimensiones, claramente un concepto “imaginario”, ya que normalmente percibimos el mundo como máximo en tres dimensiones.

La nueva geometría en la física moderna

Estas geometrías imaginarias sentaron las bases de un nuevo concepto de espacio “no euclidiano”. Este concepto ha tenido importantes aplicaciones en la ciencia. Por ejemplo, proporcionó el marco matemático para la teoría general de la relatividad y parte del trabajo de Albert Einstein. Las ideas geométricas pueden haber provenido solo del razonamiento, pero reflejan aspectos del mundo real. Las teorías basadas en esta matemática “lejana” han permitido a los físicos hacer predicciones correctas sobre el mundo. Estas teorías le dan a la humanidad la capacidad de cambiar el mundo de nuevas maneras. Y así como la física se vio profundamente afectada por esta nueva matemática, la nueva física estimuló aún más desarrollos en la matemática superior.

IV.             CONCLUSIÓN: MATEMÁTICAS – Y DIALÉCTICA- PARA TODO:

Las matemáticas han surgido de la lucha de la humanidad con el mundo material. Dado que el mundo material funciona dialécticamente, no es sorprendente que las matemáticas sean una fuente rica de ideas dialécticas. Al mismo tiempo, cuanto más comprendamos los principios generales del materialismo dialéctico, mejor equipados estaremos para comprender las matemáticas.

Algún día, la dialéctica formará parte de la educación básica. Los niños pequeños aprenderán ideas dialécticas mientras aprenden a contar y reconocer formas geométricas. Pero no ahora, no bajo el capitalismo. Sí, el materialismo dialéctico puede ser verdadero y útil. Pero solo bajo el comunismo la dialéctica será la piedra angular de la educación.

Muestra este periódico comunista a tus amigos, familiares y compañeros de trabajo. No solo harás un poco para difundir ideas dialécticas, sino que estarás avanzando un paso más cerca de la dialéctica para todos.

UN IMPORTANTE LIBRO SOBRE LA DIALÉCTICA Y LAS MATEMÁTICAS

Gran parte del material de este artículo proviene del primer capítulo del libro “Matemáticas: su contenido, métodos y significado (MIT Press, 1984)”, escrito por un grupo de matemáticos soviéticos. Se publicó por primera vez en la Unión Soviética en 1956. Examina todas las matemáticas, desde la simple aritmética y geometría, pasando por el álgebra y el análisis (cálculo), y la teoría matemática moderna. Fue diseñado para comunicar la naturaleza y la importancia de las matemáticas a los no matemáticos.

Lo que es especialmente notable de este trabajo es que los editores abordan las matemáticas desde un punto de vista conscientemente materialista dialéctico e histórico. Puedes aprender mucha dialéctica leyendo esto, por no hablar sólo de matemáticas.

Hay una historia interesante en la publicación de la traducción al inglés. Las secciones 7 y 8 del primer capítulo son muy adelantadas en señalar la importancia del materialismo dialéctico para comprender la naturaleza de las matemáticas. Además, los autores citan los escritos del líder y teórico comunista del siglo XIX, Friedrich Engels. Cuando la American Mathematical Society publicó la traducción, ellos “dejaron fuera” las secciones 7 y 8 y sólo pusieron una breve nota al pie. Esa es la “libertad de expresión” en la comunidad científica.

Como puedes imaginar, estas secciones son extremadamente valiosas. Puede encontrar la traducción de las secciones 7 y 8 impresa en la revista Science and Nature (No. 3, 1980). Algunos de los puntos en este artículo están tomados de estas secciones omitidas.

Otro libro legible con una perspectiva materialista sobre la naturaleza y los orígenes de las matemáticas es Mathematics for the Million, de Lancelot Hogben (Nueva York: W. W. Norton and Company, 1983, publicado originalmente en la década de 1930).

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